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La régression quadratique est le processus de recherche de l’équation d’une parabole, qui correspond le mieux à votre ensemble de données.
Vous pouvez identifier une régression quadratique par le traçage de vos nuages de points. Si les nuages de points ont une forme ressemblant à un « U » (concave vers le haut), ou si les nuages de points sont tracés dans une forme d’un U renversé « ∩ » (concave vers le bas), alors vous pouvez dire que vous avez sous la main une régression quadratique qui correspond le mieux à vos données. La forme des nuages de points n’est pas toujours complète. Donc, vous pourriez voir un demi U ou seulement un 3/4 de celui-ci.
Comme étant une extension de la régression linéaire simple, nous pouvons dire que la différence majeure entre les deux est que dans la régression linéaire, une ligne droite peut être tracée en utilisant seulement deux points aussi. Mais quand il s’agit de régression quadratique, comme il s’agit d’une courbe parabolique, vous avez besoin d’autant de points que possible pour tracer une courbe parfaite. En raison de cet inconvénient de la régression quadratique, elle est généralement plus coûteuse que la simple régression linéaire.
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y = ax2 + bx + c
a = { [ Σ x2 y * Σ xx ] – [Σ xy * Σ xx2 ] } / { [ Σ xx * Σ x2 x2] – [Σ xx2 ]2 }
b = { [ Σ xy * Σ x2 x2 ] – [Σ x2y * Σ xx2 ] } / { [ Σ xx * Σ x2x 2] – [Σ xx2 ]2 }
c = [ Σ y / n ] – { b * [ Σ x / n ] } – { a * [ Σ x 2 / n ] }
Où
a, b, c sont les coefficients de régression quadratique.
Σ x x = [ Σ x 2 ] – [ ( Σ x )2 / n ]
Σ x y = [ Σ x y ] – [ ( Σ x * Σ y ) / n ]
Σ x x2 = [ Σ x 3 ] – [ ( Σ x 2 * Σ x ) / n ]
Σ x2 y = [ Σ x 2 y] – [ ( Σ x 2 * Σ y ) / n ]
Σ x2 x2 = [ Σ x 4 ] – [ ( Σ x 2 )2 / n ]
a, b, c sont les coefficients de régression quadratique.
Prenons un exemple pour comprendre comment la formule fonctionne autour des données données.
Exemple : dessinez un polynôme du second degré avec régression polynomiale pour l’ensemble de données donné.
Valeurs x | Valeurs y |
5 | 3 |
6 | 2 |
4 | 4 |
Étape 1 : Comptez le nombre total de nombres donnés.
Dans notre cas, n=3.
Étape 2 : Trouvez toutes les valeurs nécessaires pour notre formule.
x | y | x2 | x3 | x4 | xy | x2y |
5 | 3 | 25 | 125 | 625 | 15 | 75 |
6 | 2 | 36 | 216 | 1296 | 12 | 72 |
4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 16 | 64 |
∑x | ∑y | ∑x2 | ∑x3 | ∑x4 | ∑xy | ∑x2y |
15 | 9 | 77 | 405 | 2177 | 43 | 211 |
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Étape 3 : Remplacer les valeurs dans la formule
Σ xx = [ Σ x 2 ] – [ ( Σ x )2 / n ]
∑xx = [77] – [(15)2 / 3]
∑xx = 77 – [225/3]
∑xx = 77 – 75
∑xx = 2
Σ x y = [ Σ x y ] – [ ( Σ x * Σ y ) / n ]
∑xy = [43] – [(15 x 9) /3]
∑xy = 43 – [135/3]
∑xy = 43 – 45
∑xy = -2
Σ x x2 = [ Σ x 3 ] – [ ( Σ x 2 * Σ x ) / n ]
∑xx2 = [405] – [(77 x 15) / 3]
∑xx2 = 405 – [1155 / 3]
∑xx2 = 405 – 385
∑xx2 = 20
Σ x2 y = [ Σ x 2 y] – [ ( Σ x 2 * Σ y ) / n ]
∑x2y = [211] – [(77 x 9) / 3]
∑x2y = 211 – [693 / 3]
∑x2y = 211 – 231
∑x2y = -20
Σ x2 x2 = [ Σ x 4 ] – [ ( Σ x 2 )2 / n ]
∑x2x2 = [2177] – [(77)2 / 3]
∑x2x2 = 2177 – [5929 / 3]
∑x2x2 = 2177 – 1976
∑x2x2 = 201
Étape 4 : Calculer a
a = { [ Σ x2 y * Σ xx ] – [Σ xy * Σ xx2 ] } / { [ Σ xx * Σ x2 x2] – [Σ xx2 ]2 }
a = {[-20 * 2] – [-2 * 20]} / {[2 * 201] – [20]2}
a = {(-40) – (40)} / {(402) – (400)}
a = -80 / 2
a = -40
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Étape 5 : Calculer b
b = { [ Σ xy * Σ x2 x2 ] – [Σ x2y * Σ xx2 ] } / { [ Σ xx * Σ x2x 2] – [Σ xx2 ]2 }
b = {[-2 * 201] – [-20 * 20]} / {[2 * 201] – [20]2}
b = {[-402] – [-400]} / {(402) – (400)}
b = -2 / 2
b = -1
Étape 6 : Calculer c
c = [ Σ y / n ] – { b * [ Σ x / n ] } – { a * [ Σ x 2 / n ] }
c = [9 / 3] – {-1 * (15 / 3)} – {-40 * (77 / 3)}
c = 3 – [-1 * 5] – [-40 * 25,66]
c = 3 – (-5) – (-1026,4)
c = 1034,4
Étape 7 : Substituer la valeur de a, b, c dans l’équation de régression quadratique
y = ax2 + bx + c
y = -40×2 + (-1x) + 1034,4
y = -40×2 – x + 1034,4
Par conséquent, l’équation de régression quadratique de votre parabole est
y = -40×2 – x + 1034,4
En dehors de cela, il existe divers calculateurs de régression quadratique en ligne qui facilitent votre tâche, vous épargnent toutes ces étapes et vous donnent immédiatement l’équation de régression quadratique.
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